Период полураспада радиоактивного изотопа 137Сs, который попал в атмосферу в результате Чернобыльской...

Для нахождения времени, через которое количество радиоактивного изотопа 137Cs составит менее 1% от исходного, мы можем воспользоваться формулой полураспада:

N(t) = N0 * (1/2)^(t/T)

Где: N(t) - количество изотопа через время t N0 - исходное количество изотопа t - время T - период полураспада

Из условия задачи у нас есть период полураспада T = 29,7 лет и мы хотим найти время t, при котором N(t) = 0,01 * N0.

Подставим известные значения в формулу:

0,01 N0 = N0 (1/2)^(t/29,7)

Упростим выражение:

(1/2)^(t/29,7) = 0,01

Возьмем логарифм от обеих сторон:

log(1/2)^(t/29,7) = log(0,01)

(t/29,7) * log(1/2) = log(0,01)

(t/29,7) = log(0,01) / log(1/2)

(t/29,7) = 2

t = 59,4 лет

Таким образом, через 59,4 лет количество радиоактивного изотопа 137Cs, попавшего в атмосферу в результате Чернобыльской аварии, составит менее 1% от исходного.

Для определения времени, через которое количество радиоактивного изотопа уменьшится до менее чем 1% от исходного, используется формула радиоактивного распада:

[ N(t) = N0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T{1/2}}} ]

где:

• ( N(t) ) — количество изотопа в момент времени ( t ),
• ( N_0 ) — начальное количество изотопа,
• ( T_{1/2} ) — период полураспада (в данном случае 29,7 лет),
• ( t ) — время, которое необходимо найти.

Нам нужно найти время ( t ), когда ( N(t) < 0.01 \times N_0 ).

Подставим это условие в уравнение:

[ 0.01 \times N_0 = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{29.7}} ]

Сократим на ( N_0 ):

[ 0.01 = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{29.7}} ]

Чтобы решить это уравнение, возьмем логарифм по основанию 10 или натуральный логарифм обеих частей уравнения. Используем натуральный логарифм:

[ \ln(0.01) = \ln\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{29.7}}\right) ]

Применим свойство логарифма:

[ \ln(0.01) = \frac{t}{29.7} \times \ln\left(\frac{1}{2}\right) ]

Теперь выразим ( t ):

[ t = \frac{\ln(0.01)}{\ln\left(\frac{1}{2}\right)} \times 29.7 ]

Вычислим значения логарифмов:

[ \ln(0.01) \approx -4.605 ] [ \ln\left(\frac{1}{2}\right) \approx -0.693 ]

Подставим значения:

[ t = \frac{-4.605}{-0.693} \times 29.7 ]

[ t \approx 6.64 \times 29.7 ]

[ t \approx 197.41 ]

Таким образом, через приблизительно 197,41 лет количество изотопа ( ^{137}\text{Cs} ) уменьшится до менее чем 1% от исходного количества.